API significa “Interface de Programação de Aplicações”, elas existem a muito tempo e servem para fazer criar uma interface de comunicação entre aplicações.
Ser uma interface significa que ela é como se fosse uma tela onde o usuário poderá escolher as opções que vão resolver o problema delas dentro do sistema, porém o diferencial é que a API é uma interface onde outros softwares podem escolher opões para resolver os problemas das aplicações de forma sincronizada de forma a criar uma integração entre esses sistemas.
Dessa forma uma API não precisar ser necessariamente WEB, o nosso próprio sistema operacional mesmo fornece diversas APIs para que os softwares criados para estes S.O façam uso, para como por exemplo ter acesso a fazer impressão usando o computador os aplicativos podem enviar comandos para a interface do sistema referente a impressão e o S.O. cuida do restante, assim nós programadores não precisamos nos preocupar com os detalhes sórdidos que envolvem imprimir uma página, não precisando lidar diretamente com o Hardware e nem com o driver, o próprio sistema se encarrega disso.
Maaasss o mais popular mesmo vem sendo as Web APIs e imagino que seja elas que mais te despertam curiosidade, e para tudo que segue em diante vou focar nelas nossas queridas APIs REST